Question

如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．設為線段的中點．
（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；
（2）若圓在點處的切線與軸交于點，試判斷直線與軌跡的位置關系．

Answer 1

（1）;（2）相切

試題分析：（1）由于點在圓上運動, 為線段的中點,根據兩點坐標的關系,以及點P在圓上,即可得到結論.
（2）由（1）得到軌跡的方程為橢圓方程.切線PE的斜率有兩種情況：斜率不存在則可得直線與軌跡的位置關系為相切.直線斜率存在則假設點P的坐標,寫出切線方程,以及點N的坐標,再寫出直線MN的方程.聯立橢圓方程,根據判別式的值即可得到結論.
（1）設，則．點在圓上，，
即點的軌跡的方程為．                4分
（2）解法一：
（i）當直線的斜率不存在時，直線的方程為或．顯然與軌跡相切；
（2）當直線的斜率存在時，設的方程為，
因為直線與圓相切，所以，即．      7分
又直線的斜率等于，點的坐標為．
所以直線的方程為，即.          9分
由得．
．故直線與軌跡相切．
綜上（i）（2）知，直線與軌跡相切.                 13分
解法二：設（），則．              5分
（i）當時，直線的方程為或，此時，直線與軌跡相切；
（2）當時，直線的方程為，即．
令，則．，又點，
所以直線的方程為，即．      9分
由得即．
．所以，直線與軌跡相切．
綜上（i）（2）知，直線與軌跡相切．                 13分