【題目】如圖，在三棱柱
中，
，
（1）求證：
；
（2）若四邊形
為正方形，
為正三角形，M是
的中點，求二面角
的余弦值
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）取
的中點為N，通過線線垂直證明
平面
，即可推出
，利用等腰三角形三線合一的性質即可得證；（2）首先證明
為正三棱錐，過點
作
平面
，則O為正
的中心，取上靠近點C的三等分點為E，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角的余弦值.
（1）證明：取的中點為N，在中，
，所以
,
又
，且
，所以
，
，
平面，
，所以平面，
又
平面，所以，
所以在
中，由及的中點為N，得
.
（2）由四邊形
為正方形，得
，
由
為正三角形，得
，所以
又由（1）知，所以為正三棱錐，
過點作平面，則O為正的中心，取上靠近點C的三等分點為E，
則
，
，
兩兩垂直，分別以射線，，為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標系，
設
，則
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設平面
的法向量
，
則
，取
，得
，
設平面
的法向量
，
則
，所以
，取
，得
，
設二面角
為
，因為為鈍角，所以
，
即所求的二面角的余弦值為.
提分百分百檢測卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】著名物理學家李政道說：“科學和藝術是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴格的數學方法確定的.我國明代的數學家、音樂理論家朱載填創立了十二平均律是第一個利用數學使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數，如下表所示，其中
表示這些半音的頻率，它們滿足
.若某一半音與
的頻率之比為
，則該半音為（ ）
頻率 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
半音 | C |
| D |
| E | F |
| G |
| A |
| B | C（八度） |
A.
B.GC.
D.A
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知一條曲線C在y軸右側，曲線C上任意一點到點
的距離減去它到y軸的距離都等于1.
（1）求曲線C的方程；
（2）直線
與軌跡C交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在定點
，使得直線
與
關于x軸對稱而與直線
的位置無關，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
（
）的右焦點為
，左右頂點分別為
、
，
，過點
的直線
（不與
軸重合）交橢圓
于
、
點，直線
與軸的交點為
，與直線
的交點為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若
，求出點的坐標；
（3）求證：、、三點共線.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱錐
的側棱長都相等，底面
與側面
都是以
為斜邊的等腰直角三角形，
為線段的中點，
為直線
上的動點，若平面
與平面
所成銳二面角的平面角為
，則
的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為響應黨的號召，堅決打贏脫貧攻堅戰，某地區實行了幫扶單位定點幫扶扶貧村脫貧.為了解該地區貧困戶對其所提供的幫扶的滿意度，隨機調查了40個貧困戶，得到貧困戶的滿意度評分如下：
現按貧困戶編號從小到大的順序分組，用系統抽樣法從40名貧困戶中抽取容量為10的樣本.
（1）若在第一分段里隨機抽到的第一個樣本的評分數據為81，記第二和第十個樣本的評分數據分別為a，b，請寫出a，b的值；
（2）若10個樣本的評分數據分別為92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.請你計算所抽到的10個樣本的平均數
和方差
；
（3）在（1）條件下，若貧困戶的滿意度評分在
之間，則滿意度等級為“A級”.試應用樣本估計總體的思想，用（2）中的樣本數據，估計在滿意度為“A級”的貧困戶中隨機地抽取2戶，所抽到2戶的滿意度評分均“超過80”的概率.
（參考數據：
，
，
）
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