Question

已知函數f（x）=e^x-mx，
（1）當m=1時，求函數f（x）的最小值：
（2）若函數g（x）=f（x）-lnx+x²存在兩個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=1時，f′（x）=e^x-1，當x＜0時，f′（x）＜0，當x＞0時，f′（x）＞0，由此能求出當m=1時，函數f（x）的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，得m=

ex-lnx+x2

x

，令h(x)=

ex-lnx+x2

x

，由此能求出函數g（x）=f（x）-lnx+x²存在兩個零點時m的取值范圍．

解答：解：（1）當m=1時，f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
當x＜0時，f′（x）＜0，
當x＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（x）=1．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，
得m=

ex-lnx+x2

x

，
令h(x)=

ex-lnx+x2

x

，
則h′(x)=

(x-1)ex+x2-1+lnx

x2

，
觀察得x=1時，h′（x）=0．
當x＞1時，h′（x）＞0，
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（1）=e+1，
∴函數g（x）=f（x）-lnx+x²存在兩個零點時m的取值范圍是（e+1，+∞）．

點評：本題考查函數最小值的求法和函數存在兩個零點時求m的兩個取值范圍．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的應用．