Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，為中點.

（1）證明：平面；

（2）若平面，是邊長為2的正三角形，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析.（2）.

【解析】分析：第一問首先在平面內尋找的平行線，這個任務借助中位線，從而取中點，即為所求，之后應用線面平行的判定定理證得結果；第二問利用線面平行將點到平面的距離轉化為求點到平面的距離，之后用等級法，借助于三棱錐的體積和三棱錐的體積相等求得對應的高，即點到面的距離.

詳解：（1）證明：取的中點，連結

∵為的中點，∴，且

又∵，且

∴，且，故四邊形為平行四邊形

∴

又平面，平面，

∴平面.

（2）由（1）得平面

故點到平面的距離等于點到平面的距離

取的中點，連結

∵平面，平面，

∴平面平面

又是邊長為2的正三角形

∴，，且

∵平面平面

∴平面，

∵四邊形是直角梯形，

∴

∵，，，

∴，

∴

記點到平面的距離為，

∵三棱錐的體積

∴.

∴點到平面的距離為.