Question

【題目】已知圓：，過且與圓相切的動圓圓心為.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設過點的直線交曲線于，兩點，過點的直線交曲線于，兩點，且，垂足為（，，，為不同的四個點）.

①設，證明：；

②求四邊形的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①見解析.②.

【解析】試題分析：

（1）設動圓半徑為，由于在圓內，圓與圓內切，由題意可得 ，則點的軌跡是橢圓，其方程為.

（2）①由題意可知，而，，，為不同的四個點，故.

②若或的斜率不存在，四邊形的面積為.否則，設的方程為，聯立直線方程與橢圓方程可得，同理得，則 ，當且僅當時等號成立.則四邊形的面積取得最小值為.

試題解析：

（1）設動圓半徑為，由于在圓內，圓與圓內切，

則，， ，

由橢圓定義可知，點的軌跡是橢圓，，，，

的方程為.

（2）①證明：由已知條件可知，垂足在以為直徑的圓周上，

則有，

又因，，，為不同的四個點，.

②解：若或的斜率不存在，四邊形的面積為.

若兩條直線的斜率存在，設的斜率為，

則的方程為，

解方程組，得 ，

則，

同理得，

∴ ，

當且僅當，即時等號成立.

綜上所述，當時，四邊形的面積取得最小值為.