Question

（本小題滿分14分）
設是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數,圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數列．
（1）證明：為等比數列；
（2）設，求數列的前項和．

Answer 1

（1）略
（2）Sn= –（n+）·

解：（Ⅰ）將直線y=x的傾斜角記為，
則有tan = ，sin =．…………．1分
設Cn的圓心為（，0），則由題意知= sin = ，
得 = 2；    ……… …………．3分
同理，依題意知   ………………5分
將 = 2代入，
解得 rn+1=3rn．
故{ rn }為公比q=3的等比數列．                  ………………7分
（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，從而 =n·，………………9分
記Sn=，
則有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·．  ①
=1·3-1+2·3-2+………+（n-1） ·+n·． ②        ………………11分
①-②，得
="1+3-1" +3-2+………+-n·        ………………………12分
=- n·
= –（n+）·         ………………………………13分
Sn= –（n+）·．     ………………………………14分