Question

如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點，．

（1）求證：；
（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）連接,要證,只需證明面,只需證明, 由已知面面垂直，易證,所以,面,得到,因為,易證,所以面,得,得證面，即證 ；（2）設由（1）法一：知，為等邊三角形，設，則，分別為，的中點，也是等邊三角形．取的中點，連結，，則，，
所以為二面角的平面角，然后用余弦定理計算.法二：如圖建立空間直角坐標系，分別計算兩個平面的法向量，利用公式,根據實際圖形為鈍二面角.
試題解析：如圖：

（1）證明：連結，因，是的中點，
故．
又因平面平面，
故平面，            2分
于是．
又，
所以平面，
所以，                 4分
又因，
故平面，
所以．                 6分
（2）解法一：由（I），得．不妨設，．          7分
因為直線與平面所成的角，
故，
所以，為等邊三角形．                        9分
設，則，分別為，的中點，也是等邊三角形．
取的中點，連結，，則，，
所以為二面角的平面角．                     12分
在中，，，                      13分
故，
即二面角的余弦值為．                            14分
解法二：取的中點，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系．不妨設，，則，，，，   8分
從而，.
設平面的法向量為，
由，得，
可取．            10分
同理，可取平面的一個法向量為  
．                 12分
于是，   13分
易見二面角的平面角與互補，
所以二面角的余弦值為．                        14分