Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），數列{b_n}滿足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），數列{b_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求證：數{b_n-a_n}為等比數列；
（Ⅱ）求證：數列{b_n}是單調遞增數列；
（Ⅲ）若當且僅當n=3時，S_n取得最小值，求b₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以先根據數列{a_n}的遞推關系式求的數列的通項，再有數列{b_n}滿足的關系，將a_n 與b_n作差化簡即可獲得解答；
（Ⅱ）先結合（Ⅰ）的結論求的通項公式b_n-a_n，又數列{a_n}的通項知道，故可求得數列{b_n}的通項，通過通項研究即可解答；（Ⅲ）結合數列的變化將問題轉化為通項的不等關系，解方程組即可獲得解答．

解答：解：（Ⅰ）2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N*）∴{a_n}是等差數列．
又a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，
∴a_n=

1

4

+（n-1）-

1

2

=

2n-1

4

b_n=

1

3

b_n-1+

n

3

（n≥2，n∈N*），
∴b_n+1-a_n+1=

1

3

b_n+

n+1

3

-

2n+1

4

=

1

3

bn-

2n-1

12

=

1

3

（b_n-

2n-1

4

）=

1

3

（b_n-a_n）．
又∵b₁-a₁=b₁-

1

4

≠0
∴{b_n-a_n}是以b₁-

1

4

為首項，以

1

3

為公比的等比數列．
（Ⅱ）b_n-a_n=（b₁-

1

4

）•(

1

3

)n-1a_n=

2n-1

4

，b_n=（b₁-

1

4

）•(

1

3

)n-1+

2n-1

4

．
當n≥2時b_n-b_n-1=

1

2

-

2

3

（b₁-

1

4

）

1

3

n-2
又b₁＜0，∴b_n-b_n-1＞0
∴{b_n}是單調遞增數列．
（Ⅲ）∵當且僅當n=3時，S_n取最小值．
∴

b3＜0 b4＞0

即

5 4 +(b1- 1 4 )( 1 3 )2 ＜ 0 7 4 +(b1- 1 4 ) ( 1 3 )3＞ 0

，
∴b₁∈（-47，-11）．

點評：本題考查的是數列的遞推公式問題．在解答的過程當中充分體現了運算的能力、函數的思想以及問題轉化的能能力．值得同學們體會反思．