Question

把邊長為6的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后，用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器（不計接縫），設容器的高為x，容積為V（x）．
（1）寫出函數V（x）的解析式，并求出函數的定義域；
（2）求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積．

Answer 1

分析：（1）由已知中容器的高為x，正三棱柱形容器的底邊長為(6-2

3

x)，我們計算出棱柱的底面面積代入棱柱體積公式，即可求出函數V（x）的解析式，并根據高和底面邊長均為正和，可以得到函數的解析式．
（2）由（1）的中的解析式，我們求出函數導函數的解析式，利用導數法，求出函數的極值點，分析函數的單調性，即可得到當x為多少時，容器的容積最大，代入即可得到最大容積．

解答：解：（1）因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為(6-2

3

x)（1分）．
則V(x)=

3

4

(6-2

3

x)2x（4分）
函數的定義域為(0，

3

)（5分）
（2）實際問題歸結為求函數V（x）在區間(0，

3

)上的最大值點．先求V（x）的極值點．
在開區間(0，

3

)內，V′(x)=9

3

x2-36x+9

3

（7分）
令V′（x）=0，即令9

3

x2-36x+9

3

=0，解得x1=

3

3

，x2=

3

(舍去)．
因為x1=

3

3

在區間(0，

3

)內，x₁可能是極值點．當0＜x＜x₁時，V′（x）＞0；
當x1＜x＜

3

時，V′（x）＜0．（9分）
因此x₁是極大值點，且在區間(0，

3

)內，x₁是唯一的極值點，
所以x=x1=

3

3

是V（x）的最大值點，并且最大值 f(

3

3

)=4
即當正三棱柱形容器高為

3

3

時，容器的容積最大為4．

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，其中解答本題的關鍵是根據已知求出棱柱的底面面積和高，進而求出函數的解析式，建立數學模型．