Question

（2012•吉林二模）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x+1|+|x-2|-m
（I）當m=5時，求f（x）＞0的解集；
（II）若關于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當m=5時，原不等式可化為|x+1|+|x-2|＞5，分三種情況去絕對值，對不等式加以討論，最后綜合即得到f（x）＞0的解集；
（II）關于x的不等式f（x）≥2的解集是R，根據絕對值不等式的性質，可得|x+1|+|x-2|的最小值3大于或等于m+2，由此可得實數m的取值范圍．

解答：解：（I）當m=5時，原不等式可化為：|x+1|+|x-2|＞5，
①

x≥2 x+1+x-2＞5

，解之，得x＞3；
②

1≤x＜2 x+1-x+2＞5

，解之，得不存在符合題意的實數x；
③

x＜1 -x-1-x+2＞5

，解之，得x＜-2
綜上所述，當m=5時，f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（3，+∞）                     …（5分）
（II）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x-2|＞m+2，
∵x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴要使不等式|x+1|+|x-2|≥m+2 解集是R，必定有m+2≤3，即m≤1
由此可得：m的取值范圍是（-∞，1）．                        …（10分）

點評：本題給出含有絕對值的函數，討論不等式f（x）＞m（m是常數）的解集的問題，著重考查了絕對值的定義與性質和不等式恒成立問題的處理方法等知識，屬于基礎題．