Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c．
（1）若c=2， ，且△ABC的面積 ，求a，b的值；
（2）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）解：由余弦定理 及已知條件得，a2+b2﹣ab=4，

又因為△ABC的面積等于 ，所以 ，得ab=4．

聯立方程組 解得a=2，b=2．

（2）解：由題意得：sinC+sin（B﹣A）=sin2A

得到sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A=2sinAcoA

即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcoA

所以有：sinBcosA=sinAcosA，

當cosA=0時， ，△ABC為直角三角形

當cosA≠0時，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，

所以，△ABC為等腰三角形．

【解析】（1）根據余弦定理，得c2=a2+b2﹣ab=4，再由面積正弦定理得 ，兩式聯解可得到a，b的值；（2）根據三角形內角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展開化簡合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后討論當cosA=0時與當cosA≠0時，分別對△ABC的形狀的形狀加以判斷，可以得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:．