Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E為棱AB的中點。

（I）證明：D₁E⊥A₁D；
（II）求二面角D₁-EC-D的大��；
（III）求點D到平面D₁EC的距離。

Answer 1

解：（Ⅰ）連接A₁D，AD₁，在長方體中，AE⊥平面AD₁，
∴AD₁是D₁E在平面AD₁內的射影，
AD=A₁A ，
∴四邊形A₁DD₁A為正方形，
∴AD₁⊥A₁D，
由三垂線定理：D₁E⊥A₁D。
（Ⅱ）連接DE，
∵E為AB的重點，
∴AD=AE，EB=BC，
∴∠AED=∠BEC=45°，
∴DD₁⊥平面ABCD，
∴D₁E⊥EC，
故∠D₁ED為二面角D₁-EC-D的平面角。
在Rt△D₁DE中，DD₁=1，DE=，
∴tan∠D₁ED=，
故二面角D₁-EC-D的大小為。
（Ⅲ）過點D作DF⊥D₁E于F，
由（II）可得EC⊥面D₁DE，
又EC面D₁EC，
∴面D₁EC⊥面D₁DE，
∴DF⊥面D₁EC，
故DF為點D到平面D₁EC的距離，
，
∴D₁E=，，
故點D到平面D₁EC的距離為。