Question

直線

3

ax+by=1與圓x²+y²=2相交于A，B兩點（a，b∈R），且△AOB是直角三角形（O是坐標原點），則點P（a，b）與點（0，1）之間距離的最大值是（　�。�

• A、

  17

  4

• B、4
• C、2
• D、

  7

  3

Answer 1

分析：根據AOB是直角三角形推斷出該三角形為直角三角形，進而可求得心到直線的距離利用點到直線的距離求得a和b的關系，可推斷出點P的軌跡為橢圓，然后利用消元法轉化成二次函數求出最值即可．

解答：解：∵△AOB是直角三角形，
∴圓心到直線的距離d=1，即

1

3a2+b2

=1，整理得3a²+b²=1，
∴P點的軌跡為橢圓，
點P（a，b）與點（0，1）之間距離d=

(a-0)2+(b-1)2

=

a2+b2-2b+1

=

2 3 b2-2b+ 4 3

，
設f（b）=

2

3

b2-2b+

4

3

，此函數為對稱軸為b=

3

2

的開口向上的拋物線，
∴當-1≤b≤1時，函數為減函數，
∴點P（a，b）與點（0，1）之間距離的最大值是2．
故選：C．

點評：本題主要考查了直線與圓的相交的性質，以及利用二次函數的性質最值，轉化和化歸的思想的應用．屬于中檔題．