Question

已知函數（為常數）．

（1）當時，求的單調遞減區間；

（2）若，且對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數的單調遞減區間為；（2）實數的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）將代入函數解析式并求出相應的導數，利用導數并結合函數的定義域便可求出函數的單調遞減區間；（2）構造新函數，將問題轉化為“對任意時，恒成立”，進而轉化為，圍繞這個核心問題結合分類討論的思想求出參數的取值范圍.

試題解析：（1）的定義域為，，

當時，，                           2分

由及，解得，所以函數的單調遞減區間為      4分

（2）設，

因為對任意的，恒成立，所以恒成立，

，

因為，令，得，，                7分

①當，即時，

因為時，，所以在上單調遞減，

因為對任意的，恒成立，

所以時，，即，

解得，因為。所以此時不存在；            10分

②當，即時，因為時，，時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

因為對任意的，恒成立，所以，且，

即，解得，

因為，所以此時；                 13分

③當，即時，因為時，，

所以在上單調遞增，由于，符合題意；            15分

綜上所述，實數的取值范圍是                      16分

考點：函數的單調區間與導數、不等式恒成立、分類討論