Question

若R上的奇函數的圖象關于直線對稱，且當時，，則方程在區間內的所有實數根之和為（   ）

A．4020

B．4022

C．4024

D．4026

Answer 1

B

解析試題分析：∵函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數，∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）,∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，,又定義在R上的奇函數，故f（0）=0，,∵f（x）=f（0）+,∴f（x）=,∵0＜x≤1時，f（x）=log₂x≤0，∴f（x）=在（0，1）內沒有一實根，在（-1，0）內有一實數根x₁,又函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，∴f（x）=在（2，3）有一個實根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期為4，當2010＜x＜2012時，函數的圖象與2＜x＜4的圖象一樣,∴原方程在區間（2010，2012）內的實根有2個，設為a，b，則=2011∴a+b=4022,故選B
考點：本題主要考查根的存在性及根的個數判斷及奇偶函數圖象的對稱性，關鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結合0＜x≤1時，f（x）=log₂x與奇函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，數形結合予以解決，屬于中檔題.
點評：解決該試題的關鍵是由奇函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱可得f（x+4）=f（x），再利用f（0）=0，及0＜x≤1時，f（x）=log₂x，數形結合，可求得方程f（x）=+f（0）=在區間（2010，20121）內的所有實根之和．