Question

已知函數f（x）=3sin（2x+）+1
（1）求f（x）的值域及當y取最大值時，自變量x的集合；
（2）求周期及對稱點
（3）當x∈[0，]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于正弦函數的值域，求得函數f（x）=3sin（2x+）+1的值域．再根據當2x+=2kπ+，
k∈z時，y取最大值為4，求得自變量x的集合．
（2）根據函數的周期T= 求得結果．令2x+=kπ，k∈z，求得x的值，可得函數圖象對稱點．
（3）根據x∈[0，]，利用正弦函數的定義域和值域求得函數f（x）的值域．
解答：解：（1）由于-1≤sin（2x+）≤1，故函數f（x）=3sin（2x+）+1的值域為[-2，4]，
且當2x+=2kπ+，k∈z時，y取最大值為4，此時自變量x的集合為{x|x=kπ+，k∈z}．
（2）函數的周期T===π．
令2x+=kπ，k∈z，可得 x=-，故函數圖象對稱點為（-，0）．
（3）當x∈[0，]時，2x+∈[，]，故當2x+=時，函數取得最大值為4，
當2x+=時，函數取得最小值為3（-）+1=-，
故函數f（x）的值域為[-，4]．
點評：本題主要考查復合三角函數的單調性、周期性、對稱性，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．