Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為和，過點的直線與橢圓相交與兩點，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）求直線的斜率；

（3）設點與點關于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，且，求橢圓方程.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

（3）.

【解析】

（1）由，，得，得到的關系式，由此能求出離心率；（2）將橢圓的方程為寫為，設直線的方程為，設，，聯立方程組，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出直線的斜率；（3）求出，，取，得，推導出外接圓的方程，與直線的方程聯立解出，得，再由，解得，由此能求出橢圓方程．

（1）由且，得，從而

整理，得，故離心率.

（2）由（1）得，所以橢圓的方程可寫為

設直線的方程為，即.

由已知設，則它們的坐標滿足方程組

消去整理，得.

依題意，，得.

而 ①

②

由題設知，點為線段的中點，所以

③

聯立①③解得

將 代入②中，解得.

（3）由（2）可知.

不妨取，得，由已知得.

線段的垂直平分線的方程為，直線與軸的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

直線的方程為，于是點的坐標滿足方程組

，由，解得

由 解得

故橢圓方程為.