Question

若方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均小于1，求實數a的范圍．

Answer 1

解：若1+a=0，即a=-1
則原方程可化為：3x-4=0，解得x=，不滿足要求
若1+a≠0，即a≠-1時，
若方程（1+a）x²-3ax+4a=0有根，則△=9a²-16a²-16a≥0
即
若方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均不小于1
則，即
故方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均小于1時，-1＜a≤0
即實數a的范圍為，-1＜a≤0
分析：方程（1+a）x²-3ax+4a=0是一個類二次方程，我們要首先分1+a=0和1+a≠0兩種情況進行分類討論，當方程為二次方程時所有根均小于1，情況比較復雜，故我們可以先討論方程的兩根均不小于1的情況，再利用補集思想求出滿足條件的實數a的范圍．
點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，利用“正難則反”的思想，先求方程（1+a）x²-3ax+4a=0的所有根均不小于1時，實數a的范圍，再利用補集思想進行解答是本題的關鍵．