Question

【題目】設函數，曲線過點，且在點處的切線斜率為2.

（1）求，的值；

（2）證明：；

（3）若在定義域內恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）由，知，由過，且在點處的切線斜率為2，知，由此能求出，．

（2）的定義域為，由（1）知，設，則，由此能證明．

（3）依題意可得恒成立，令，利用導數研究函數的單調性，即可得到函數的最小值，從而得到參數的取值范圍；

解：（1），

，

過，且在點處的切線斜率為2，

，

解得，．

（2）的定義域為，

由（1）知，

設，

則，

當時，；當時，．

在單調遞增，在單調遞減．

．

，

．

（3）依題意，在定義域內恒成立，即恒成立，

令，定義域為，

所以

則當時，即在上單調遞增，

當時，即在上單調遞減，

則時取得極小值即最小值，

所以