Question

已知函數f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值．

 

Answer 1

（1）a＝4，b＝4（2）單調增區間為(－∞，－2)，；

單調減區間為，4－4e－2.

【解析】(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4

＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，

∵y＝f(x)在(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4，

∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，

∴a＝4，b＝4.

(2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2)

＝2(x＋2)(2ex－1)，

令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝ln，

列表：

x	(－∞，－2)	－2		ln
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		極大值		極小值

∴y＝f(x)的單調增區間為(－∞，－2)，；

單調減區間為.

f(x)極大值＝f(－2)＝4－4e－2.