Question

已知函數f（x）=e^2x-2tx，g(x)=-x2+2tex-2t2+

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．
（1）求f（x）在區間[0，+∞）的最小值；
（2）求證：若t=1，則不等式g（x）≥

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對于任意的x∈[0，+∞）恒成立；
（3）求證：若t∈R，則不等式f（x）≥g（x）對于任意的x∈R恒成立．

Answer 1

分析：（1）求出函數f（x）的導數，因為e⁰=1，所以根據參數t是否大于1來討論函數f（x）在區間[0，+∞）上的單調性，從而得到函數f（x）在區間[0，+∞）上的最小值；
（2）求函數g（x）的導數g'（x），得出函數g'（x）在區間[0，+∞）上是增函數，從而g'（x）≥g'（0）=2＞0，根據g'（x）恒正得出函數g（x）在區間[0，+∞）上為增函數，從而g（x）≥g（0）=

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；
（3）構造函數h（x）=f（x）-g（x），再將所得函數h（x）進行配方，得到恒比h（x）小的一個函數，再通過討論這個函數的最小值為非負，從而得出h（x）≥0，命題得理證．

解答：解：（1）f'（x）=2e^2x-2t=2（e^2x-t）
①若t≤1
∵x≥0，則e^2x≥1，∴e^2x-t≥0，即f'（x）≥0．
∴f（x）在區間[0，+∞）是增函數，故f（x）在區間[0，+∞）的最小值是f（0）=1
②若t＞1
令f'（x）=0，得x=

1

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lnt．
又當x∈[0， 

1

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lnt)時，f'（x）＜0；當x∈(

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lnt， +∞)時，f'（x）＞0，
∴f（x）在區間[0，+∞）的最小值是f(

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lnt)=t-tlnt
（2）證明：當t=1時，g(x)=-x2+2ex-

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，則g'（x）=-2x+2e^x=2（e^x-x），
∴[g'（x）]'=2（e^x-1），
當x∈[0，+∞）時，有[g'（x）]'≥0，∴g'（x）在[0，+∞）內是增函數，
∴g'（x）≥g'（0）=2＞0，
∴g（x）在[0，+∞）內是增函數，
∴對于任意的x∈[0，+∞），g(x)≥g(0)=

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恒成立
（3）證明：f(x)-g(x)=e2x-2tx+x2-2tex+2t2-

1

2

=2t2-2(x+ex)t+(e2x+x2-

1

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)，
令h(t)=2t2-2(x+ex)t+(e2x+x2-

1

2

)=2(t-

x+ex

2

)2+

e2z-2xex+x2-1

2

則當t∈R時，h（t）≥

e2x-2xex+x2-1

2

=

(ex-x)2-1

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，
令F（x）=e^x-x，則F'（x）=e^x-1，
當x=0時，F'（x）=0；當x＞0時，F'（x）＞0；當x＜0時，F'（x）＜0，
則F（x）=e^x-x在（-∞，0]是減函數，在（0，+∞）是增函數，
∴F（x）=e^x-x≥F（0）=1，
∴

(ex-x)2-1

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≥0，
∴h（t）≥0，即不等式f（x）≥g（x）對于任意的x∈R恒成立

點評：利用導數工具討論函數的單調性，是求函數的值域和最值的常用方法，考查了分類討論的思想與轉化的思想．解決本題同時應注意研究導函數的單調性得出導數的正負，從而得出原函數的單調性的技巧．