Question

（本題滿分14分）函數,,其中a為常數,且函數和的圖像在其與坐標軸的交點處的切線互相平行．

(Ⅰ)求此平行線的距離；

(Ⅱ)若存在x使不等式成立，求實數m的取值范圍；

(Ⅲ)對于函數和公共定義域中的任意實數，我們把的值稱為兩函數在處的偏差.求證:函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于2．

Answer 1

解：（Ⅰ），，的圖像與坐標軸的交點為，的圖像與坐標軸的交點為，由題意得，即

又∵，∴。

∴，，∴函數和的圖像在其坐標軸的交點處的切線方程分別為：,∴兩平行切線間的距離為  。

（Ⅱ）由得，故在有解，

令，則。當時，；

當時，∵，∵，

∴，∴ks*5u

故       

即在區間上單調遞減，故，∴

即實數m的取值范圍為 。   

（Ⅲ）解法一：

∵函數和的偏差為：，

∴，設為的解，則當，；

當，，∴在單調遞減，在單調遞增

∴           

∵，，∴

故

即函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于2。

解法二：

由于函數和的偏差：，

令，；令，

∵，，∴在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增        ks*5u

∴，，∴

即函數和在其其公共定義域內的所有偏差都大于2。