【題目】如圖，在四棱錐
，
為矩形，
，
，平面
平面．
（1）證明：平面
平面
；
（2）若
為
中點，直線
與平面
所成的角為
，求二面角
的正弦值．
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）推導出
平面
，
，從而
平面
，由此能證明平面
平面
．
（2）由平面，
為
在平面內的射影，從而
即為直線與平面所成的角，取
中點
，連結，則
，以為原點，建立空間直角坐標系
，利用向量法能求出二面角
的正弦值．
（1）證明：∵平面
平面
，平面
平面
，
矩形中，
，
∴平面．
∵
平面，
∴．
又∵
，
，
平面，
平面．
∴平面．
∵平面，
∴平面平面．
（2）解：由（1）知平面，為在平面內的射影，
∴即為直線與平面所成的角，
由題意，
，
，
取中點，連結，則，
以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
則
，
，
，
設平面
的一個法向量為
，
則
，即
，
令
，則
，
，∴
．
同理易得，平面
的一個法向量為
，
由
，
∴二面角的正弦值為．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著科技的發展，網購已經逐漸融入了人們的生活，在家里不用出門就可以買到自己想要的東西，在網上付款即可，兩三天就會送到自己的家門口，所以選擇網購的人數在逐年增加.某網店統計了2014年一2018年五年來在該網店的購買人數
（單位：人）各年份的數據如下表：
年份（ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 24 | 27 | 41 | 64 | 79 |
（1）依據表中給出的數據，是否可用線性回歸模型擬合
與時間
（單位：年）的關系，請通過計算相關系數
加以說明，（若
，則該線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）
附：相關系數公式
參考數據
（2）該網店為了更好的設計2019年的“雙十一”網購活動安排，統計了2018年“雙十一”期間8個不同地區的網購顧客用于網購的時間x（單位：小時）作為樣本，得到下表
地區 |
|
|
|
|
|
|
|
|
時間 | 0.9 | 1.6 | 1.4 | 2.5 | 2.6 | 2.4 | 3.1 | 1.5 |
①求該樣本數據的平均數
；
②通過大量數據統計發現，該活動期間網購時間
近似服從正態分布
，如果預計2019年“雙十一”期間的網購人數大約為50000人，估計網購時間
的人數.
（附：若隨機變量
服從正態分布
則
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,楔形幾何體
由一個三棱柱截去部分后所得,底面
側面
,
,楔面
是邊長為2的正三角形,點
在側面的射影是矩形的中心
,點
在
上,且
（1）證明：
平面
；
（2）求楔面與側面所成二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知如圖，長方體
中，
，
，點
，
，
分別為
，
，
的中點，過點的平面
與平面
平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個幾何圖形.
（1）在圖中畫出這個幾何圖形，并求這個幾何圖形的面積（畫圖說出作法，不用說明理由）；
（2）求證：
平面.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓x2+y2=8內有一點P0（-1，2），AB為過點P0且傾斜角為α的弦.
（1）當α=
時，求AB的長；
（2）當弦AB被點P0平分時，寫出直線AB的方程(用直線方程的一般式表示)．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前n項和為
，且滿足
，數列
中，
，對任意正整數
，
.
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在實數
，使得數列
是等比數列？若存在，請求出實數及公比q的值，若不存在，請說明理由；
（3）求數列前n項和
.
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