Question

已知直線l₁：x+a（a+1）y+1=0和直線l₂：bx+y+1=0垂直，且直線l₂分別與x軸、y軸交于點A、B；O為原點，若△AOB的面積存在最小值，則實數b的取值范圍是     ．

Answer 1

【答案】分析：利用兩直線垂直的條件得出字母a，b的關系式是解決本題的關鍵．將△AOB的面積表示為字母的函數關系，發現面積何時取到最小值進行求解實數b的取值范圍．
解答：解：由兩直線垂直，得出b=-a（a+1）=-a²-a，
l₂分別與x軸、y軸交于點A（-，0）（b≠0）、B（0，-1）．
故△AOB的面積為，
若△AOB的面積存在最小值，也就是|b|=|a²+a|存在最大值，
因此b∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
故答案為：（-∞，0）∪（0，+∞）．
點評：本題考查平面解析幾何中兩直線垂直的等價條件，利用該等價條件得出a，b的關系之后，充分利用△AOB的面積與a，b的關系，考查學生的等價轉化能力．