Question

（本小題共14分）

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為

（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）設直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值..

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  （Ⅱ）的大小為..

【解析】【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．

（Ⅰ）由題意，得，解得，

∴，∴所求雙曲線的方程為.

（Ⅱ）點在圓上，

圓在點處的切線方程為，化簡得.

由及得，

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，

∴，且，設A、B兩點的坐標分別為，

則，∵，且

，

.∴ 的大小為..

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得

   ①     ②

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，

∴，設A、B兩點的坐標分別為，則，

∴，∴ 的大小為..（∵且，

∴，從而當時，方程①和方程②的判別式均大于零）.