Question

【題目】已知橢圓：的上頂點為，右焦點為F，連結TF并延長與橢圓交于點S，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與x軸交于點M，過點M的直線AB與交于A、B兩點，點P為直線上任意一點，設直線AB與直線交于點N，記PA，PB，PN的斜率分別為，，，則是否存在實數，使得恒成立？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）存在,

【解析】

（1）易得，由連結TF并延長與橢圓交于點S，且，可得，代入橢圓方程可得，可得橢圓方程；

（2）可得M點坐標，設直線AB的方程為：，設，，,可得N點坐標，設P點坐標，可得，聯立直線與橢圓方程，可得 ，的值，，計算的值，代入 ，，與進行比較可得的值.

解：由橢圓：的上頂點為，可得，

連結TF并延長與橢圓交于點S，且，可得，

代入橢圓方程：，可得，可得，結合，

可得，，故橢圓方程為：；

（2）可得M點坐標，設直線AB的方程為：，

設，,可得N點坐標，

設P點坐標，可得，

聯立直線與橢圓方程可得：，化簡可得：，

可得：，，

可得：，，

可得，

代入：，，

可得：，化簡可得，

由恒成立，可得，

可得當時恒成立.