Question

（本題滿分12分）

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，且，點）在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線與橢圓相交于、兩點，且△的面積，求以為圓心且與直線相切的圓的方程.

Answer 1

解：（1）設橢圓方程為，由題意可得：

   橢圓兩焦點坐標分別為.                   …………2分

   所以

   所以又，

   故橢圓的方程為.                …………………………4分

（2）方法一：當直線垂直于軸時，計算得到：，

，不符合題意；     ………………6分

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為：，

    

由               ，消去得.

    

顯然成立，設，

則        ……………………8分

又

即   ………………………………9分

又圓的半徑，  …………………………10分

所以

化簡，得即，解得，……11分

所以，,故圓的方程為： ………………12分

（2）方法二：設直線的方程為，         ………………5分

    

由             ，消去得，恒成立，

    

設，則    …………8分

所以

又圓的半徑為，

所以，

解得，所以.           ……………………………………10分

故圓的方程為：.          ……………………………………12分