Question

已知關于x的一元二次方程2x²+2mx+m²+2m-6=0（m∈R）有實根x₁，x₂；
（1）求m的取值范圍；
（2）設f（m）=x₁²+x₁x₂+x₂²，求f（m）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用判別式大于等于0，可得不等式，即可求m的取值范圍；
（2）利用韋達定理，結合配方法，即可求f（m）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵一元二次方程2x²+2mx+m²+2m-6=0（m∈R）有實根x₁，x₂，
∴△=4m²-8（m²+2m-6）≥0
∴m²+4m-12≤0
∴-6≤m≤2
（2）x₁+x₂=-m，x₁x₂=

1

2

（m²+2m-6）
∴f（m）=x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂=m²-

1

2

（m²+2m-6）=

1

2

(m-1)2+

5

2

∵-6≤m≤2，
∴m=-6時，取得最大值27，m=1時，取得最小值

5

2

．

點評：本題考查方程的根，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．