Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，公差d＞0，若a₂=2，a₅=11．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

Sn

n+a

(a≠0)，若{b_n}是等差數列且cn=2b2n，求實數a與

lim

n→+∞

c1+c2+…+cn

bn+1

(b∈R)的值．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的通項為a_n=a₁+（n-1）d，由題得：a₁+d=2，a₁+4d=11，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由Sn=

n(3n-5)

2

，bn=

n(3n-5)

2(n+a)

，{b_n}是等差數列，則

2

2+a

=

-1

1+a

+

6

3+a

，再由cn=2b2n=23n，得到c1+c2+…+cn=

8

7

(8n-1)．由此能求出實數a與

lim

n→+∞

c1+c2+…+cn

bn+1

(b∈R)的值．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的通項為a_n=a₁+（n-1）d，
由題得：a₁+d=2，a₁+4d=11，（2分）
解得：a₁=-1，d=3，a_n=3n-4（4分）
（2）由（1）得：Sn=

n(3n-5)

2

（6分）
∴bn=

n(3n-5)

2(n+a)

則b1=

-1

1+a

，b2=

1

2+a

，b3=

6

3+a

，
∵{b_n}是等差數列，
則

2

2+a

=

-1

1+a

+

6

3+a

∴a=-

5

3

，bn=

3n

2

（8分）
又∵cn=2b2n=23n
∴c1+c2+…+cn=

8

7

(8n-1)（10分）
故

lim

n→+∞

c1+c2+…+cn

bn+1

=

8 7 (8n-1)

bn+1

=

0(|b＜8) 8 7 (b=8) 不存在(|b＜8或b=-8)

（12分）

點評：本題考查數列的極限的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．