Question

在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分別為AB、SB的中點.

（1）證明AC⊥SB；

（2）求二面角N—CM—B的余弦值；

（3）求點B到平面CMN的距離.

Answer 1

思路分析：由題目所給的條件，恰當地建立空間直角坐標系，由空間向量的坐標表示的內容進行證明、求解即可.

解：（1）證明如下，取AC中點O，連結OS、OB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，

∴SO⊥面ABC.∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz.

則A（2，0，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），B（0，，0）.∴=（-4，0，0），=（0，-，2），∵·=（-4，0，0）·（0，-，2）=0，

∴AC⊥BS.

（2）解：由（1），得M（1，，0），=（3，，0），（-2，0，2）=（-1，0，1）.

設n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，則

取x=-1,y=,z=-1,則n=(-1,,-1),

又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，

∴cos〈n,〉=.

∴二面角N-CM-B的余弦值為.

（3）解：由（1）（2），得=（2，，0）.n=（-1，，-1）為平面CMN的一個法向量.∴點B到平面CMN的距離d=.