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已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點.判斷直線是否關于直線對稱，并說明理由.

(1)；(2)對稱.

解析試題分析：(1)由圓方程可知圓心為，即，又因為離心率為，可得，根據橢圓中關系式，可求，橢圓方程即可寫出；(2)由橢圓方程可知，將代入橢圓方程可得，可得，設直線，設，，然后和橢圓方程聯立，消掉(或)得到關于的一元二次方程，再根據韋達定理得出根與系數的關系，可得兩直線的斜率.若直線是關于直線對稱時兩直線傾斜角互補，所以斜率互為相反數，把求得的兩直線斜率相加若為0，則說明兩直線對稱，否則不對稱.
試題解析：（1）由題意得, 由可得,  所以 
所以橢圓的方程為.             4分
（2）由題意可得點 
所以由題意可設直線,
設
由得
由題意可得,即且
                         6分
因為                    8分

，                         10分
所以直線關于直線對稱          12分.
考點：1.橢圓的基礎知識；2.直線與橢圓的位置關系；3.二次方程根與系數的關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，直線，是拋物線的焦點。

（1）在拋物線上求一點，使點到直線的距離最�。�
(2)如圖，過點作直線交拋物線于A、B兩點.
①若直線AB的傾斜角為，求弦AB的長度；
②若直線AO、BO分別交直線于兩點,求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左、右焦點分別、，點是橢圓短軸的一個端點，且焦距為6，的周長為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過點且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓 ,若橢圓的右頂點為圓的圓心，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點，與圓分別交于兩點，點在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓相交于、兩點， 為原點，在、上分別存在異于點的點、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

橢圓以雙曲線的實軸為短軸、虛軸為長軸，且與拋物線交于兩點.
（1）求橢圓的方程及線段的長；
（2）在與圖像的公共區域內，是否存在一點，使得的弦與的弦相互垂直平分于點？若存在，求點坐標，若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的中心在原點O，右焦點F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點，其右準線l與x軸交于T點，直線BF交橢圓于C點，P為橢圓上弧AC上的一點．

(1)求證：A、C、T三點共線；
(2)如果＝3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時橢圓的方程和P點坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的方程為＝1(a>b>0)，雙曲線＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
(2)當＝λ，求λ的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線＝1的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點，F1為左焦點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程．

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