Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面， 垂直于和， ， ， 是棱的中點．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成的二面角的余弦值；

（Ⅲ）設點是直線上的動點， 與平面所成的角為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）．

【解析】 試題分析：（1）以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，由，即可證明平面；

（2）易知平面的一個法向量為，設平面與平面所成的二面角為，求得，即可求得平面與平面所成的二面角的余弦值．

（3）設，則，平面的一個法向量為，取得的表達式，利用二次函數的性質，即可求解的最大值．

試題解析：

（Ⅰ）以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則， ， ， ， ， ，

∴， ， ，

設平面的一個法向量為，

則∴令，得．

∵，

∴，∴平面．

（Ⅱ）易知平面的一個法向量為 ，設平面與平面所成的二面角為，

易知，則，∴，

所以平面與平面所成的二面角的余弦值為．

（Ⅲ）設，則，易知平面的一個法向量為，

∴，

當，即時， 取得最大值，且．