Question

下列曲線的所有切線構成的集合中,存在無數對互相垂直的切線的曲線是(　　)

(A)f(x)=ex (B)f(x)=x3

(C)f(x)=lnx (D)f(x)=sinx

 

Answer 1

D

【解析】設切點的橫坐標為x1,x2,

則存在無數對互相垂直的切線,即f'(x1)·f'(x2)=-1有無數對x1,x2使之成立,

對于A由于f'(x)=ex>0,

所以不存在f'(x1)·f'(x2)=-1成立;

對于B由于f'(x)=3x2≥0,

所以也不存在f'(x1)·f'(x2)=-1成立;

對于C由于f(x)=lnx的定義域為(0,+∞),

∴f'(x)=>0;

對于D,由于f'(x)=cosx,

所以f'(x1)·f'(x2)=cosx1·cosx2,

若x1=2mπ,m∈Z,x2=(2k+1)π,k∈Z,

則f'(x1)·f'(x2)=-1恒成立.