Question

已知函數f（x）=4x³-3x²cosθ+，其中x∈R，θ為參數，且0≤θ≤2π．
①當cosθ=0時，判斷函數f（x）是否有極值；
②要使函數f（x）的極小值小于零，求參數θ的取值范圍；
③若對②中所求的取值范圍內的任意參數θ，函數f（x）在區間（2a-1，a）內都是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：①先求函數的導數，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函數的單調性，從而可判定是否有極值．
②先求出極值點，f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，求出極小值，使函數f（x）的極小值小于零建立不等關系，求出參數θ的取值范圍即可．
③由②知，函數f（x）在區間（-∞，0）與 內都是增函數，只需（2a-1，a）是區間（-∞，0）與 的子集即可．
解答：解：①當cosθ=0時 ，則f（x）在（-∞，+∞）內是增函數，
故無極值．
②f'（x）=12x²-6xcosθ，令f'（x）=0，
得 ．
由 及，（只需考慮cosθ＞0的情況）．
當x變化時，f'（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

因此，函數f（x）在 處取得極小值 ，且 ．
要使 ，必有 ，
可得 ，
所以
當時，
當x變化時，f'（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

當x=0是，函數有極小值，不滿足題意．
所以
③由②知，函數f（x）在區間（-∞，0）與 內都是增函數．
由題設，函數f（x）在（2a-1，a）內是增函數，
則a須滿足不等式組 或
由（II），時，，
要使不等式 關于參數θ恒成立，必有 ．
綜上，解得a≤0或 a＞1
所以a的取值范圍是 （-∞，0]∪（1，+∞）
點評：本小題主要考查運用導數研究函數的單調性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．