Question

[必做題]利用空間向量的方法解決下列問題：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是BB₁，DC的中點．
（1）求AE與D₁F所成的角；
（2）證明AE⊥面A₁D₁F．

Answer 1

【答案】分析：解法一（1）利用向量的數量積求出，即可求出AE與D₁F所成的角是90°；
（2）通過（1），以及證明AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，即可得到結論．
解法二（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出AE與D₁F的向量，通過數量積求出它們的夾角．
（2）通過數量積為0，說明，AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，得到結論．
解答：解：法一（1）設正方體的棱長為1，==
所以所成的角為90°  …（5分）
（2）由（1），
所以AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，
所以AE⊥平面A₁D₁F．…（10分）
法二（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，

設正方體的棱長為1，則A（1，0，0），
E（1，1，），F（0，，0），
D₁（0，0，1）D（0，0，0）
所以．
可得，
故所成的角為90°
（2）
所以AE⊥A₁D₁，
又D₁F∩A₁D₁=D₁，
故AE⊥平面A₁D₁F．…（10分）
點評：本題是立體幾何證明直線與平面的垂直，直線與直線所成的角的求法，考查計算能力，空間想象能力．