Question

（本題滿分14分）

設x₁，x₂是函數的兩個極值點，且。

(1)   用a表示，并求出a的取值范圍.

(2)   證明: .

(3)   若函數 ,證明:當且x₁<0時, .

 

Answer 1

【答案】

（1）0<a≤1

（2）略

（3）略

【解析】解：（1）∵f (x ) =x³ + x²–a² x，∴f ¹(x ) = a x² + bx–a² ……（1分）

∵x₁ ，x ₂是f (x )的兩個極值點，∴x₁ ，x ₂是方程a x² + bx–a²=0的兩個實根（2分）

∵a > 0 ，∴x₁ x ₂=-a<0，x₁ +x ₂= ，∴︱x₁︱+︱x ₂︱=︱x₁ - x ₂ ︱==2，

∴，∴b² = 4a² －4a³ ……………………（4分）

∵b²≥0 ，∴4a² －4a³≥0 ，∴0<a≤1…………………………（5分）

（2）∵b² = 4a² －4a³ （0<a≤1），令g(a)= 4a² －4a³ ,∴ (a ) =8 a–12a²…（6分）

由 (a) >0 ,得0<a< , 由 (a) <0 ,得<a≤1.

∴g(a)在(0 , )上遞增，在( , 1)上遞減.……………………………（8分）

∴g(a)在(0 ,1)上的最大值是g()=.

∴g(a) ≤.∴ b²≤.∴ ∣b︱≤……（10分）

（3）∵x₁ ，x ₂是方程a x² + bx–a²=0的兩個實根，∴f ¹(x ) = a（x–x₁）（x-x ₂）.

∴h(x ) = a（x–x₁）（x-x ₂）－2a（x–x₁）= a（x–x₁）（x-x ₂－2）………（11分）

∴∣h(x )∣= a∣x–x₁∣∣x-x ₂－2∣≤……（12分）

∵x>x₁ ，∴x–x₁>0. 又∵x₁<0，∴x₁ x ₂<0 ，∴ x ₂>0 .∴ x ₂+2>2 .

又∵x<2，∴x－x ₂－2<0 ……………………………………………（13分）

∴∣h(x )∣≤=.

又∵∣x₁∣+∣x₂∣=2,且x₁<0， x ₂>0 ，∴ x ₂－x₁=2 .

將其代入上式得∣h(x )∣≤4a.………………………………………（14分）