Question

【題目】某高校數學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責，已知該系共有n位學生，每次活動均需該系k位學生參加（n和k都是固定的正整數），假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發給該系k位學生，且所發信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發活動通知信息的學生人數為X．
（1）求該系學生甲收到李老師或張老師所發活動通知信息的概率；
（2）求使P（X=m）取得最大值的整數m．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為事件A：“學生甲收到李老師所發信息”與事件B：“學生甲收到張老師所發信息”是相互獨立事件，所以 與 相互獨立，由于P（A）=P（B）= = ，故P（ ）=P（ ）=1﹣ ，

因此學生甲收到活動信息的概率是1﹣（1﹣ ）2=

（2）解：當k=n時，m只能取n，此時有P（X=m）=P（X=n）=1

當k＜n時，整數m滿足k≤m≤t，其中t是2k和n中的較小者，由于“李老師與張老師各自獨立、隨機地發送活動信息給k位”所包含的基本事件總數為（ ）2，當X=m時，同時收到兩位老師所發信息的學生人數為2k﹣m，僅收到李老師或張老師轉發信息的學生人數為m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件數為

P（X=m）= =

當k≤m＜t時，P（X=M）＜P（X=M+1）（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）m≤2k﹣

假如k≤2k﹣ ＜t成立，則當（k+1）2能被n+2整除時，

k≤2k﹣ ＜2k+1﹣ ＜t，故P（X=M）在m=2k﹣ 和m=2k+1﹣ 處達到最大值；

當（k+1）2不能被n+2整除時，P（X=M）在m=2k﹣[ ]處達到最大值（注：[x]表示不超過x的最大整數），

下面證明k≤2k﹣ ＜t

因為1≤k＜n，所以2k﹣ ﹣k= ≥ = ≥0

而2k﹣ ﹣n= ＜0，故2k﹣ ＜n，顯然2k﹣ ＜2k

因此k≤2k﹣ ＜t

綜上得，符合條件的m=2k﹣[ ]

【解析】（1）由題設，兩位老師發送信息是獨立的，要計算該系學生甲收到李老師或張老師所發活動通知信息的概率可先計算其對立事件，該生沒有接到任一位老師發送的信息的概率，利用概率的性質求解；（2）由題意，要先研究隨機變量X的取值范圍，由于k≤n故要分兩類k=n與k＜n進行研究，k=n時易求，k＜n時，要研究出同時接受到兩位老師信息的人數，然后再研究事件所包含的基本事件數，表示出P（X=m），再根據其形式研究它取得最大值的整數m即可．