Question

已知a∈R，函數f（x）=x|x-a|，
（Ⅰ）當a=2時，寫出函數y=f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當a＞2時，求函數y=f（x）在區間[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）設a≠0，函數f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析：（I）將a=2代入函數的解析得出f（x）=x|x-2|，將其變為分段函數，利用二次函數的圖象與性質研究其單調性即可
（Ⅱ）當a＞2時，函數y=f（x）在區間[1，2]上解析式是確定的，去掉絕對號后根據二次函數的性質確定其單調性，再求最值．
（Ⅲ）a≠0，函數f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值說明在函數最值不在區間端點處取得，在這個區間內必有兩個極值，由函數的性質確定出極值，由于極值即為最值，故可借助函數的圖象得m、n的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

由二次函數的性質知，單調遞增區間為（-∞，1]，[2，+∞）（開區間不扣分）
（Ⅱ）因為a＞2，x∈[1，2]時，所以f（x）=x（a-x）=-x²+ax=-(x-

a

2

)2+

a2

4

當1＜

a

2

≤

3

2

，即2＜a≤3時，f（x）_min=f（2）=2a-4
當

a

2

＞

3

2

，即a＞3時，f（x）_min=f（1）=a-1
∴f(x)min=

2a-4，2＜a≤3 a-1，a＞3

（Ⅲ）f(x)=

x(x-a)，x≥a x(a-x)，x＜a

①當a＞0時，圖象如上圖左所示
由

y= a2 4 y=x(x-a)

得x=

( 2 +1)a

2

∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

2 +1

2

a
②當a＜0時，圖象如上圖右所示
由

y=- a2 4 y=x(a-x)

得x=

(1+ 2)

2

a
∴

1+ 2

2

a≤m＜a，

a

2

＜n≤0

點評：本題考點是函數的最值及其幾何意義，綜合考查了二次函數的圖象，最值等知識以及配方法求最值的技巧．解題時數形結合，轉化靈活，綜合性很強．