Question

已知函數g（x）=

x

+1，h（x）=

1

x+3

，x∈（-3，a]，其中a為常數且a＞0，令函數f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函數f（x）的表達式，并求其定義域；
（2）當a=

1

4

時，求函數f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）由題意求出函數g（x）的定義域，把兩函數作積后得到f（x）的解析式，兩函數定義域的交集為f（x）的定義域；
（2）代入a=

1

4

，把函數f（x）的解析式換元，轉化為不含根式的函數，然后利用函數的單調性求解函數的最值．

解答：解：（1）∵g（x）=

x

+1，h（x）=

1

x+3

，x∈（-3，a]，
∴f（x）=g（x）•h（x）=(

x

+1)

1

x+3

=

x +1

x+3

，
即f（x）=

x +1

x+3

，x∈[0，a]．（a＞0）；
（2）當a=

1

4

時，函數f（x）的定義域為[0，

1

4

]．
令

x

+1=t，則x=（t-1）²，t∈[1，

3

2

]．
∴f（x）=F（t）=

t

t2-2t+4

=

1

t+ 4 t -2

．
∵t=

4

t

時，t=±2∉[1，

3

2

]，又t∈[1，

3

2

]時，t+

4

t

單調遞減，F（t）單調遞增，
則當t=1時，F（t）有最小值

1

3

，當t=

3

2

時，F（t）有最大值

6

13

．
∴函數f（x）的最小值為

1

3

，最大值為

6

13

．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了函數的定義域及其求法，訓練了還原法及利用函數的單調性求最值，是中低檔題．