Question

數列{a_n}滿足，前n項和
（1）寫出a₂，a₃，a₄；（2）猜出a_n的表達式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

解：（1）令n=2，∵，∴，即a₁+a₂=3a₂．∴．
令n=3，得，即a₁+a₂+a₃=6a₃，∴．
令n=4，得，a₁+a₂+a₃+a₄=10a₄，∴．
（2）猜想，下面用數學歸納法給出證明．
①當n=1時，結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即，
則當n=k+1時，
=，
即．
∴
∴．
∴當n=k+1時結論成立．
由①②可知，對一切n∈N₊都有成立．
分析：（1）根據，利用遞推公式，分別令n=2，3，4．求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）根據（1）求出的數列的前四項，從而總結出規律猜出a_n，然后利用數學歸納法進行證明即得．
點評：此題主要考查數列遞推式、數學歸納法．數學歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證．