Question

【題目】設函數，其中a，.

（1）若函數在處取得極小值，求a，b的值；

（2）求函數的單調遞增區間；

（3）若函數在上只有一個極值點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）首先對函數求導，根據題意，得到，，得到所滿足的等量關系，求得結果；

（2）對函數求導，并進行因式分解得到，比較和2的大小，從而進行分類討論，進而確定函數的單調區間；

（3）函數在上只有一個極值點，等價于在上只有一個解，結合（2）及零點存在性定理可得，從而求得的范圍.

（1）因為，

所以，得.

由，解得.

（2）因為，

令，得或.

當時，的單調遞增區間為；

當時，的單調遞增區間為；

當時，的單調遞增區間為.

（3）由題意可得，即，

化簡得，

解得，

所以a的取值范圍是.