Question

【題目】已知且

（1）求函數的定義域及其零點；

（2）若關于的方程在區間[0，1）內有解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）定義域為，零點為0；（2）分類討論，答案見解析．

【解析】

（1）求定義域要求真數大于0，列不等式組可得結果，求零點令函數值為0，解方程可在定義域內得函數的零點；

（2）利用函數零點（方程有根)求參數范圍問題，可構造新函數，轉化為兩個函數有交點問題，也可利用函數的單調性，確定參數的取值范圍.

解：（1）由得，

故的定義域為，

由，即，

得，

得，

解得或，

由于，故的零點為0；

（2）方法一：

在區間[0，1）內有解，即，有解，

令，，，在（0，1]為減函數，

則，即，

當時，，

時，；

方法二：

由方程在區間[0，1）內有解，即與在有交點，

．令，，，

在（0，1]為減函數，，，

當時，，即，

∴，

當時，，即，

∴；

方法三：

，

當時，在[0，1）上為增函數，此時，故此時

當時，在[0，1）上為減函數，此時，故此時，

綜上時，，時.