Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2mx+3m+4，
（1）若f（x）在（﹣∞，1]上單調遞減，求m的取值范圍；
（2）求f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=x2+2mx+3m+4，

∴f（x）的對稱軸是x=﹣m，

又∵f（x）在（﹣∞，1]上單調遞減，

∴﹣m≥1，解得m≤﹣1，

∴m的取值范圍是（﹣∞，﹣1]

（2）解：f（x）的對稱軸為x=﹣m

當﹣m≥1，即m≤﹣1時，

f（x）在[0，2]上的最大值g（m）=f（0）=3m+4，

當﹣m＜1，即m＞﹣1時，

f（x）在[0，2]上的最大值g（m）=f（2）=7m+8，

∴

【解析】（1）由f（x）的對稱軸是x=﹣m，f（x）在（﹣∞，1]上單調遞減，得﹣m≥1，由此能求出m的取值范圍．（2）由f（x）的對稱軸為x=﹣m，根據m≤﹣1和m＞﹣1兩種情況分類討論能求出f（x）在[0，2]上的最大值g（m）．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．