Question

如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且，點C為圓O上一點，且．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=DB．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析;(2)．

【解析】

試題分析：（1）先利用平面幾何知識與線面垂直的性質證線線垂直，由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到線線垂直；（2）作出二面角的平面角，證明符合二面角的定義，再在三角形中求二面角的平面角,從而求出所求的二面角．

試題解析：(1)如圖,連接，

由知，點為的中點，

又∵為圓的直徑，

∴，

由知，，

∴為等邊三角形，從而．

∵點在圓所在平面上的正投影為點，

∴平面，又平面，

∴，

由得，平面，

又平面，

∴．

（2）方法1:（綜合法）如圖,過點作，垂足為，連接, 

由（1）知平面，

又∵平面，

∴，

又∵，

∴平面，

又∵平面，

∴，

∴為二面角的平面角．

由（Ⅰ）可知，，

∴，則，

∴在中，，

∴，即二面角的余弦值為．              

方法2:（坐標法）以為原點，、和的方向分別為軸、軸和軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標系,

設，由，得，，，

∴，，，，

∴，，，

由平面，知平面的一個法向量為．

設平面的一個法向量為，則

，即，令，則，，

∴，

設二面角的平面角的大小為，

則，

∴二面角的余弦值為．

考點：1.直線與平面垂直的判定；2.二面角的平面角及求法．