Question

函數f(x)=sin2x+2

2

cos(

π

4

+x)+3的最小值是

2-2

2

．

Answer 1

分析：把函數解析式的前兩項利用誘導公式sin（

π

2

-α）=cosα，以及cos（

π

2

-α）=cosα及二倍角的余弦函數公式進行變形，然后利用完全平方公式化簡，由正弦函數的值域即可得到函數的最小值．

解答：解：f(x)=sin2x+2

2

cos(

π

4

+x)+3
=cos（2x-

π

2

）+2

2

cos[

π

2

-（

π

4

-x）]+3
=1-2sin²（x-

π

4

）+2

2

sin（

π

4

-x）+3
=4-[2sin²（x-

π

4

）+2

2

sin（

π

4

-x）+1]+1
=5-[

2

sin（x-

π

4

）+1]²，
∵sin（x-

π

4

）∈[-1，1]，
∴函數的最小值為5-（

2

+1）²=2-2

2

．
故答案為：2-2

2

點評：此題考查了誘導公式，二倍角的余弦函數公式，正弦函數的值域，以及完全平方公式的應用，其技巧性比較強，熟練掌握公式是解本題的關鍵．