Question

已知二次函數f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（I）當0＜a＜

1

2

，x∈[-1，1]時，f（x）的最小值為-

3

4

，求實數a的值．
（II）如果x∈[0，1]時，總有|f（x）|≤1．試求a的取值范圍．
（III）令a=1，當x∈[n，n+1]（n∈N^*）時，f（x）的所有整數值的個數為g（n），數列{

g(n)

2n

}的前n項的和為T_n，求證：T_n＜7．

Answer 1

分析：（I）找出二次函數的對稱軸，利用對稱軸和區間的關系以及最小值就可求出實數a的值；
（II）轉化為關于a的不等式，借助于關于x的函數的最值來求a的取值范圍即可．
（III）先利用二次函數的性質求出在[n，n+1]上的單調性，進而求出g（n），以及數列{

g(n)

2n

}的表達式，再利用錯位相減法求和．即可證得T_n＜7．

解答：解：（1）由0＜a＜

1

2

知-

1

2a

＜-1，
故當x=-1時f（x）取得最小值為-

3

4

，
即f(-1)=a-1=-

3

4

，∴a=

1

4

（2）由|f（x）|≤1得|ax²+x|≤1，
-1≤ax²+x≤1對于任意x∈[0，1]恒成立，
當x=0時，f（x）=0，則|f（x）|≤1恒成立；
當x≠0時，有

a≤ 1 x2 - 1 x =( 1 x - 1 2 )2- 1 4 ① a≥- 1 x2 - 1 x =-( 1 x + 1 2 )2+ 1 4 ②

對于任意的x∈（0，1]恒成立；∵x∈(0，1]∴

1

x

≥1，
則(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

≥0，故要使①式恒成立，
則有a≤0，又a≠0∴a＜0；又-(

1

x

+

1

2

)2+

1

4

≤-2，
則有a≥-2，
綜上所述：-2≤a＜0．
（3）當a=1時，f（x）=ax²+x，則此二次函數的對稱軸為x=-

1

2

，開口向上，
故f（x）在[n，n+1]上為單調遞增函數，
且當x=n，n+1時，f（n），f（n+1）均為整數，
故g（n）=f（n+1）-f（n）+1=（n+1）²+（n+1）-n²-n+1=2n+3?（n∈N^*），
則數列{

g(n)

2n

}的通項公式為

g(n)

2n

=

2n+3

2n

，
故Tn=

5

2

+

7

22

+

9

23

++

2n+1

2n-1

+

2n+3

2n

①
又

1

2

Tn=

5

22

+

7

23

+

9

24

++

2n+1

2n

+

2n+3

2n+1

②
由①-②得

1

2

Tn=

5

2

+2(

1

22

+

1

23

++

1

2n

)-

2n+3

2n+1

=

7

2

-

2n+7

2n+1

∴Tn=7-

2n+7

2n

，
∴T_n＜7．

點評：本題是對數列和二次函數性質的綜合考查，涉及到錯位相減法求和..錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．