Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均為實數），滿足a-b+c=0，對于任意實數x都有f（x）-x≥0，并且當x∈（0，2）時，有f(x)≤(

x+1

2

)2，
（1）求f（1）的值；
（2）求ac的最小值；
（3）當x∈[-2，2]且a+c取得最小值時，函數F（x）=f（x）-mx（m為實數）是單調的，求m取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據1≤f（1）≤(

1+1

2

)²可得答案．
（2）由f（1）=a+b+c=1，a-b+c=0解出b=a+c=

1

2

，再由基本不等式得到答案．
（3）根據（2）求出abc的值確定f（x）的解析式可得到F（x）的解析式，再根據F（x）在[-2，2]單調可求出m的值．

解答：解：（1）∵對于任意x∈R，都有f（x）-x≥0，且當x∈（0，2）時，
有f（x）≤(

x+1

2

)2，
令x=1
∴1≤f（1）≤(

1+1

2

)2，
即f（1）=1；
（2）由a-b+c=0及f（1）=1，
有

a-b+c=0 a+b+c=1

，可得b=a+c=

1

2

，
又對任意x，f（x）-x≥0，
即ax²-

1

2

x+c≥0，
∴a＞0且△≤0，
即

1

4

-4ac≤0，解得ac≥

1

16

，
即ac的最小值為

1

16

；
（3）由（2）可知a＞0，c＞0，
a+c≥2

ac

≥2•

1 16

=

1

2

，
當且僅當

a=c a+c= 1 2

時等號成立，
此時a=c=

1

4

，
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
F（x）=f（x）-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]，
當x∈[-2，2]時，f（x）是單調的，
所以F（x）的頂點一定在[-2，2]的外邊，
∴|

2-4m

2

|≥2、解得m≤-

1

2

或m≥

3

2

．

點評：本題主要考查一元二次函數的解析式問題，其中還用到基本不等式的有關問題．一元二次函數的單調性是每年必考內容，當開口向上是對稱軸右邊增左邊減，當開口向下時對稱軸左邊增右邊減．