Question

【題目】如圖,是正方形ABCD的外接圓,點P在劣弧AB上(P不與A、B重合),DP分別交AO、AB于點Q、T, 在點P處的切線交DA的延長線于點E,劣弧BC的中點為F.

(1)問:何時F、T、E三點共線?請說明理由.

(2)求比值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖，不妨設正方形的邊長為1，記.則

.

設直線FO交AD于點K.則

.

又EP 切于P，由弦切角定理得

.

因為∠DPA=∠DBA=45°，所以

,

.

由正弦定理得

，

.

設直線FT交直線DA于點G.

由得,則.

故.

下面證明：，從而與不重合，即F、T、E三點不可能共線.

（由的取值知）

上式顯然成立.

故三點不可能共線.

（2）由正弦定理得

，

，

及，

即.于是，

.

顯然，和.

均為大于0的嚴格遞增函數，因此，是關于變量的大于0的嚴格遞增函數，所以，的值域是.