Question

提高二環路的車輛通行能力可有效改善整個城區的交通狀況，在一般情況下，二環路上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當二環路上的車流密度達到600輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過60輛/千米時，車流速度為80千米/小時，研究表明：當60≤x≤600時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（Ⅰ）當0≤x≤600時，求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過二環路上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）f（x）=x•v（x）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）

Answer 1

分析：（I）根據題意，函數v（x）表達式為分段函數的形式，關鍵在于求函數v（x）在60≤x≤600時的表達式，根據一次函數表達式的形式，用待定系數法可求得；
（II）先在區間（0，60]上，函數f（x）為增函數，得最大值為f（60）=4800，然后在區間[60，600]用基本不等式求出函數f（x）的最大值，用基本不等式取等號的條件求出相應的x值，兩個區間內較大的最大值即為函數在區間（0，600]上的最大值．

解答：解：由題意：當0≤x≤60時，v（x）=80；當60＜x≤600時，設v（x）=ax+b
再由已知得

600a+b=0 60a+b=60

，解之得

a=- 4 27 b= 800 9

故函數v（x）的表達式為v（x）=

80x，    0≤x＜60 4 27 (600-x)，    60≤x≤600

（II）依題并由（I）可得f（x）=

80x，    0≤x＜60 4 27 (600-x)，    60≤x≤600

當0≤x＜60時，f（x）為增函數，故當x=600時，其最大值為60×80=4800
當60≤x≤600時，f（x）=

4

27

x（600-x）≤

4

27

[

x+(600-x)

2

]²=

40000

3

，
當且僅當x=600-x，即x=300時，等號成立．
所以，當x=300時，f（x）在區間（60，600]上取得最大值

40000

3

．
綜上所述，當x=300時，f（x）在區間[0，600]上取得最大值為

40000

3

≈13333，
即當車流密度為300輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為13333輛/小時．
答：（I） 函數v（x）的表達式v（x）=

80x，    0≤x＜60 4 27 (600-x)，    60≤x≤600

（II） 當車流密度為300輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為13333輛/小時．

點評：本題給出車流密度的實際問題，求車流量的最大值及相應的車流密度，著重考查了函數、最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．