Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若存在與函數的圖象都相切的直線，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為，單調減區間為，（2）[﹣1，+∞）

【解析】

（1）先求導數，再根據導函數零點討論導函數符號，即得單調區間；

（2）設函數上點與函數上點處切線相同，分別求得導數和切線的斜率，可得﹣++﹣2＝0,利用導數研究方程有解條件，可得a的范圍．

（1）當時，，

時，；時，；

因此函數的單調增區間為，單調減區間為，

（2）設函數上點與函數上點處切線相同，

則＝＝，

所以＝＝，

所以＝﹣，代入＝得：

﹣++﹣2＝0（*）

設﹣++﹣2

則

不妨設＝0（＞0），

則當0＜＜時，＜0，當＞時，＞0，

所以在區間（0，）上單調遞減，在區間（，+∞）上單調遞增，

代入＝﹣2，

可得min＝＝2+2﹣+ln﹣2，

設＝2+2﹣+ln﹣2，，

則＝2+2++＞0對＞0恒成立，

所以在區間（0，+∞）上單調遞增，又＝0，

所以當0＜＜1時≤0，即當0＜≤1時≤0，

又當x＝ea+2時F（x）＝﹣+lnea+2﹣a+﹣2＝（﹣a）2≥0，

因此當0＜≤1時，函數必有零點；

即當0＜≤1時，必存在使得（*）成立；

即存在，，使得函數上點與函數上點處切線相同．

又由y＝﹣2x得y′＝﹣﹣2＜0，

所以y＝﹣2x在（0，1）單調遞減，

因此＝﹣2∈[﹣1，+∞），

所以實數a的取值范圍是[﹣1，+∞）．